クラペイロンの式と相図上の表現

クラペイロンの式（Clapeyron equation）は、熱力学における重要な方程式であり、物質の相転移（例えば、液体から気体への変化）に関する情報を提供します。この式は、相転移の際の圧力と温度の関係を表し、相図上での相転移曲線の傾きを説明します。以下では、クラペイロンの式の詳細とその相図上での意味について解説します。

クラペイロンの式の概要

クラペイロンの式は以下の形で表されます

ここで、

• dP/dT​ は相転移曲線の傾き（圧力の温度に対する変化率）
• ΔH_tr​ は相転移エンタルピー（例：蒸発熱、融解熱）
• T は絶対温度（ケルビン）
• ΔV_trは相転移時の体積変化（例：液体から気体への変化での体積の差）

相図とクラペイロンの式

1. 相図の基本

相図は、物質の異なる相（固体、液体、気体）の存在領域を圧力と温度の関係で示す図です。一般的な相図には、以下のような特徴的なラインが含まれます：

• 融解曲線：固相と液相の共存領域
• 蒸発曲線：液相と気相の共存領域
• 昇華曲線：固相と気相の共存領域

2. クラペイロンの式と相転移曲線

クラペイロンの式は、相転移曲線（融解曲線、蒸発曲線、昇華曲線）の傾きを説明するために使われます。具体的には、以下のように相図上で表現されます：

• 蒸発曲線（液体-気体境界）： 蒸発曲線上の任意の点において、圧力の温度に対する変化率（傾き）はクラペイロンの式によって決まります。この式は、例えば水が蒸発する際の圧力と温度の関係を示します。
• 融解曲線（固体-液体境界）： 同様に、融解曲線上の任意の点における傾きもクラペイロンの式によって説明されます。これにより、氷が水になるときの温度と圧力の関係が理解できます。
• 昇華曲線（固体-気体境界）： 昇華曲線の傾きもクラペイロンの式で表されます。ドライアイス（固体の二酸化炭素）が直接気体になる場合の温度と圧力の関係も同様に説明されます。

クラペイロンの式の物理的意味

クラペイロンの式は、相転移の際のエネルギーと体積の変化が、圧力と温度にどのように影響するかを示します。これにより、例えば次のような理解が深まります：

• 高い温度での蒸発熱は低温での蒸発熱と異なるため、蒸発曲線の傾きも変化します。
• 圧力が高い環境では、融解や蒸発の条件も異なり、相図上の曲線の位置や形が変わります。

具体例と練習問題

具体例

例えば、水の蒸発について考えます。水が100℃（373K）で沸騰する際、蒸発エンタルピー（ΔH_tr​）は約2260kJ/kgであり、液体と気体の体積変化（ΔV_tr）は約1.672 m³/kgです。クラペイロンの式を用いることで、蒸発曲線の傾きを計算できます。

簡易な練習問題

1. 水の蒸発曲線の傾きを計算せよ（ΔH_tr​ = 2260kJ/kg, ΔV_tr​ = 1.672 m³/kg）。
2. 二酸化炭素の昇華曲線の傾きを計算せよ（ΔH_tr​ = 573kJ/kg, ΔV_tr​ = 0.194 m³/kg）。
3. 圧力が2倍になるとき、蒸発温度はどのように変化するか考察せよ。
4. クラペイロンの式を使って、氷点下での水の融解曲線を説明せよ。

解答と解説

1. dP/dT ​= 3631Pa/K
2. dP/dT = 15250Pa/K
3. クラペイロンの式を用いて、蒸発エンタルピーと体積変化から温度の変化を求める。
4. 氷点下では、体積変化が負になるため、融解曲線の傾きも異なる。

結論

クラペイロンの式は、物質の相転移における圧力と温度の関係を定量的に理解するための強力なツールです。相図上での相転移曲線の傾きを説明することで、物質の物理的性質や環境条件の影響をより深く理解することができます。この知識は、化学工学、材料科学、気象学などの多くの分野で応用されています。

おすすめの本