流体に作用する外力とニュートンの運動法則
流体の単位質量あたりに作用する外力を
と定義する。ここで φ(x,t) はポテンシャル関数であり、外力はその勾配に起因する。
ある領域 Δx(t) に対してこの外力が及ぼす全体的な力は以下のように積分によって求められる
この式は、密度 ρ(x,t) を考慮しつつ、外力の空間的な効果を捉えている。
圧力による作用力の記述
図1：流体領域 Δx(t) における圧力と運動方向の模式図
図1に示されるように、流体領域 Δx(t) の両端において、圧力 P(x,t) による力の差が存在する。これにより領域 Δx(t) に働く力（応力差）は、次のように表される
この表現により、流体内部に生じる圧力勾配が力として作用することが明示される。
運動方程式の導出と保存則の形式
以上を統合して、領域 Δx(t) に対する流体のニュートンの運動方程式は次のように表される
左辺は運動量の時間微分を表し、右辺は外力と圧力勾配による合力を示す。これは、運動量保存の観点から導かれる自然な形式である。
この式を任意の領域 Δx(t) に適用可能とするため、微分形に変換すれば以下のようになる
ここで、運動量フラックス jp は次のように定義される
この式において第1項 ρv2 は、運動量が速度 vvv によって輸送される際の寄与を意味する。第2項 P は、圧力による流体の反応である。これらを合わせた形が、流体の運動量保存を示す根幹となる。
ナビエ＝ストークス方程式としての位置づけ
以上の導出により得られた式 (4) は、流体のニュートンの運動方程式であり、特に一様な一次元流れにおけるナビエ＝ストークス方程式の基礎形を構成する。これは、粘性を無視した理想流体に対して適用される運動方程式であるが、より一般には粘性項を追加することで実際の流体挙動を精密に記述可能となる。
図1の補足説明：運動量の流入出
図1に示すように、シリンダー状領域 Δx(t) における左端（入口）と右端（出口）での圧力 P(Δxl(t),t) および P(Δxr(t),t) の差が、流体における加速を生み出す原動力となっている。
この図は、外力に加えて圧力差が流体の運動にどのように寄与するかを視覚的に理解するうえで有効である。
図1：流体領域 Δx(t) における圧力と運動方向の模式図
結語
本稿では、外力と圧力による流体への作用を基に、ニュートンの運動法則からナビエ＝ストークス方程式の基礎を導出した。これにより、運動量の保存と流体力学の統合的な理解が可能となる。
特に圧力勾配と運動量輸送の解釈を通じて、実際の流体運動に対する理解を深めることができるであろう。
