はじめに：分子鎖の大きさと形状を理解するために
高分子物理学の基本的な出発点として、分子鎖の大きさや形状を統計的に記述することが不可欠である。
とりわけ理想鎖（ideal chain）と呼ばれるモデルは、自由連結鎖の考え方に基づき、ブラウン運動とコンフォメーション変化を取り入れながら分子の実際の挙動を単純化して記述するための枠組みとして有用である。
理想鎖モデルの導入と背景
自由連結鎖からの出発点
前項では、自由連結鎖（freely jointed chain）を起点とし、3つの異なるモデルに基づいて分子鎖の大きさ、すなわち平均二乗両末端間距離がどのように記述されるかを考察した。
この平均二乗距離は、鎖の物理的長さとその空間内での拡がりを統計的に表現する際に基準となる量である。
ミクロブラウン運動とコンフォメーションの変化
次に取り上げられるのが、ミクロブラウン運動を伴う鎖の動的挙動である。鎖は熱揺らぎにより絶えずコンフォメーション（立体配置）を変化させており、その時間発展や空間内での広がりを表現するために、確率的モデルが適用される。理想鎖モデルはその代表例である。
一次元酔歩（ランダムウォーク）としての理想鎖
図の説明：空間内のランダムな結合配置
図2.6では、原点（0, 0, 0）から出発し、ランダムな方向に向かって次々に結合がつながっていく様子を示している。これは理想鎖の基本的な視覚的イメージであり、各結合が自由に方向を変える仮定に基づく。
一次元ランダムウォークモデルの導入
このモデルでは、n個の要素からなる鎖があり、それぞれの要素は長さbの固定値をもつ。各結合はランダムに右または左に曲がる確率を等しく持ち、その総和が全体としての拡がりを決定する。これにより、ランダムウォーク（random walk）統計が適用される。
数式による確率分布の表現
nステップのうち、x軸方向に最終的にxだけ進んだ確率w(x)は以下の式で与えられる：
これは正規分布（ガウス分布）の形式であり、nが大きくなるにつれて分布の幅が広がることを示している。
ガウス分布への発展と三次元への拡張
ガウス分布の可視化
図に示されているように、n歩後に原点からxだけ離れた位置に鎖の末端がある確率は、正規分布の形状を持つ。これは一次元酔歩統計に由来する分布であり、確率の最も高い位置は原点x = 0にあることが示されている。
↑図の左：一次元酔歩（ランダムウォーク）のイメージ図
三次元への拡張とその簡便性
このような一次元での確率分布は、x, y, zの3軸方向について独立に同様のガウス分布を導入することで容易に三次元に拡張できる。
つまり、分子鎖の両末端間距離の空間的広がりは、三次元ガウス分布に従うと見なすことができ、これが理想鎖モデルの数理的基盤となっている。
まとめ：理想鎖モデルの意義と応用
理想鎖（ideal chain）モデルは、自由連結鎖に基づく単純な構造を出発点とし、ミクロブラウン運動やコンフォメーションの変化を統計的に扱う枠組みである。一次元酔歩モデルを通じて得られるガウス分布は、分子鎖の末端間距離の確率分布を記述する上で基本的かつ強力なツールである。
この理論は、実際の高分子の構造解析や動的挙動の理解、さらには材料設計にも応用される重要な物理モデルである。
