熱力学第1法則に基づく流体エネルギーの収支
流体領域Δx(t)における全エネルギーの時間変化は、熱力学第1法則に従い、以下のように記述される。
右辺の第1項は外力Fによる単位時間当たりの外部からのエネルギー供給であり、第2項および第3項は、それぞれの端点での圧力仕事および熱流束によるエネルギーの流出入を表す。
積分形から微分形への変換
式(1)を任意領域に対して一般化し、積分形から微分形へと変換すると、以下の局所形式が得られる。
これはエネルギー密度の時間変化とエネルギーフラックスの発散、外力によるエネルギー供給のバランスを示す基本式である。
(1)から(2)への式変形過程
領域Δx(t)が時間的に移動するため、微分の扱いには**ライプニッツ則（移動領域での積分の時間微分公式）**を用いる。
一般に、
を用いる。この形式で、f(x,t)=1/2ρv2+ρe、境界速度がそれぞれ v(b,t),v(a,t) であることに注意すれば、
左辺は以下のように変形できる
右辺の表現を統一して整理
と書くことができる。境界から出ていく方向に符号をつける。
全体をまとめて微分形に変換
式(1)の差分形式（境界の変化）を、空間微分（発散項）に変換することで、以下のような局所形式（微分形）が得られる。
運動エネルギー密度の時間変化
運動エネルギー密度に着目すると、以下の関係が導かれる。
この式は、速度場v(x,t)の変動に伴う運動エネルギーの変化と、体積仕事や外力との関連を記述する。
(2)から(3)への式変形過程
式(2)の両辺から内部エネルギー項（ρeに関する項）を除去し、運動エネルギーに関する項のみ取り出す。
- 式(2)左辺のρv(½v² + e)のうち、eに関する項を捨てて、½ρv²に関する輸送項だけを残す。
- 式(2)右辺の−∂ₓ(vP)のうち、圧力の寄与をP∂ₓvとして整理（積の微分展開）。
- 熱流束jqは、運動エネルギーには寄与しないため無視。
内部エネルギーの保存則の導出
式(2)から式(3)を減算することにより、内部エネルギー密度の時間変化を表す以下の式が導出される。
ここでは、左辺が内部エネルギーおよびそのフラックスの時間変化を、右辺が圧力勾配による体積変形のエネルギー変換を表す。
式(4)の導出過程
式(2) − 式(3) を計算
左辺の整理
右辺の整理
この結果が、内部エネルギー密度の時間変化を表す式(4)である。
ポテンシャルエネルギーを含むエネルギー保存式
外力ポテンシャルエネルギーφが時間に依存しない（∂φ/∂t = 0）と仮定すると、全エネルギー密度ρeₜₒₜ（eₜₒₜ = e + φ）は保存され、以下の式で記述される。
これは閉鎖系におけるエネルギー保存を示しており、jₑは全エネルギーの流束密度を表す。
式4から式5を導出する過程
ポテンシャルエネルギー φ を考慮し、全エネルギー密度を
と定義する。ここで φ は時間に依存しない（∂φ/∂t = 0）とする。
したがって、以下の式が成り立つ
質量保存式より
したがって
また、全エネルギーフラックスは以下で定義される
式(4)に φ に関する項を加えると
に対し、φ を用いた項を加えると
右辺を整理すると
これを式全体に代入し整理すると
すなわち
まとめ
本稿では、熱力学第1法則に基づき、流体のエネルギー保存則を体系的に導出した。特に式(4)は、内部エネルギーの時間発展を明示的に示すものであり、熱・力学的エネルギーの変換を定量的に解析する上で極めて重要な関係式である。
また、式(5)は全エネルギーが保存されることを強調しており、流体システムのエネルギー解析における基本的な基盤を提供する。
