マイヤーの関係とは何か？
マイヤーの関係は、理想気体における定積熱容量 CVC_VCV と定圧熱容量 CPC_PCP の間に成り立つ基本的な関係式である。具体的には次のように表される。
式1
ここで、kB はボルツマン定数、N は粒子数である。
この式は、温度を1度上げるために必要な熱量が、体積一定と圧力一定の条件で異なることを示している。
定積熱容量と定圧熱容量の違い
定積熱容量 CV とは、体積を一定に保った状態で温度を1度上げるのに必要な熱量を示す。一方、定圧熱容量 CP は、圧力を一定に保ったまま温度を1度上げるのに必要な熱量を表す。
式2（定積条件での熱量変化）
式3（定圧条件での熱量変化）
それぞれの熱容量の計算式
理想気体に対する統計力学的な導出により、次の式が得られる。
式4（定積熱容量）
式5（定圧熱容量）
これらを比較すると、先ほどのマイヤーの関係（式1）が得られる。つまり、定圧熱容量は定積熱容量に kBN を加えたものである。
実際の数値例：1モルの理想気体
具体例として、1モルの理想気体について考える。1モルの理想気体では、モル比熱 CV は次の値である。
式6
マイヤーの関係式を用いると、同じ1モルの理想気体の定圧熱容量は次のようになる。
式7
ここで、R は気体定数（R=kBNA はアボガドロ数）である。カロリー単位に換算すれば、
式8
マイヤーの関係の物理的意味
マイヤーの関係は、体積一定と圧力一定の条件で必要な熱量の違いを説明する。体積一定では、加えた熱量はすべて内部エネルギーの増加に使われる。
しかし、圧力一定では、加えた熱量の一部が膨張仕事に使われるため、余分な熱量が必要になる。
式9（圧力一定条件での微小圧力変化）
温度上昇に伴い圧力が上がらないようにするためには、体積を膨張させる必要がある。この膨張に必要なエネルギーが、CP−CV という差として現れるのである。
まとめ
マイヤーの関係は、理想気体の熱力学的特性を理解するための基本的な公式である。定積条件では加えた熱が内部エネルギーの増加だけに使われ、定圧条件では膨張に伴う仕事分が追加で必要になる。
この差はボルツマン定数と粒子数に比例し、膨張に必要なエネルギーとして解釈される。
